在本章中,我们将介绍求解方程组的常用方法:
- 消元法(加法或乘法)
- 配方法
- 代入法。
最后,我们尝试用方程组解决一些文字问题。
1. 用消元法(加法或乘法)解方程
例1. 4只狗和3只小狗重74磅,而3只狗和4只小狗重66磅。一只狗加一只小狗重多少磅?
(A)33 (B)37 (C)20 (D)24 (E)22
答案:(C)。
\( {4d} + {3p} = {74} \) (1)
\( {3d} + {4p} = {66} \) (2)
(1) \( + \left( 2\right) \) :
\( {7d} + {7p} = {140} \)
例2. 四个不同的整数 \( a, b, c \) 和 \( d \) 具有这样的性质:两两相加可得到和16、19、20、21、22和25。这四个整数的和是多少?
(A)36 (B)39 (C)41 (D)43 (E)47
答案:(C)。
设 \( a < b < c < d \) 。
\( a + b = {16} \) (1)
\( c + d = {25} \) (2)
(1)+(2): \( a + b + c + d = {16} + {25} = {41} \) .
例3. 求下列方程组中 \( e \) 的值。
\[ a + b + c + d = {92} \tag{1} \]
\[ a + b + c + e = {88} \tag{2} \]
\[ a + b + d + e = {86} \tag{3} \]
\[ a + c + d + e = {82} \tag{4} \]
\[ b + c + d + e = {76} \tag{5} \]
(B)14 (C)18 (D)20 (E)36
答案:(B)。
(1) \( + \left( 2\right) + \left( 3\right) + \left( 4\right) + \left( 5\right) : 4\left( {a + b + c + d + e}\right) = {424} \) (6)
(6) 可以简化为:
\( a + b + c + d + e = {106} \) (7)
(7) \( - \left( 1\right) : e = {106} - {92} = {14} \) .
示例4 求 \( y \) 的值,使得以下方程组对于 \( {x}_{i}\left( {i = 1,2,3,4\text{, and 5}}\right) \) 的正值成立:
\[ {x}_{5} + {x}_{2} = y{x}_{1} \tag{1} \]
\[ {x}_{1} + {x}_{3} = y{x}_{2} \tag{2} \]
\[ {x}_{2} + {x}_{4} = y{x}_{3} \tag{3} \]
\[ {x}_{3} + {x}_{5} = y{x}_{4} \tag{4} \]
\[ {x}_{4} + {x}_{1} = y{x}_{5} \tag{5} \]
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0 (E) 4
答案:(B)。
(1) \( + \left( 2\right) + \left( 3\right) + \left( 4\right) + \left( 5\right) \) :
\( \left( {{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} + {x}_{5}}\right) \left( {y - 2}\right) = 0. \)
由于 \( \left( {{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} + {x}_{5}}\right) \neq 0,\left( {y - 2}\right) = 0 \) 和 \( y = 2 \) 。
示例5。若 \( {3x} + {2y} + {6z} \) 、 \( x, y \) 和 \( z \) 满足方程组,求 \( {3x} + {2y} + {6z} \) 。
\[ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y}\right) : \left( {y + z}\right) : \left( {z + x}\right) = 3 : 4 : 5 \\ {7x} + {3y} - {5z} = 4 \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(A) 36 (B) 42 (C) 52 (D) 63 (E) 74 答案:(C)。(3)
\[ y + z = {4k} \tag{4} \]
\[ z + x = {5k} \tag{5} \]
\( k \neq 0 \) .
(3) \( + \left( 4\right) + \left( 5\right) : 2\left( {x + y + z}\right) = {12k}\; \Rightarrow \;x + y + z = {6k} \) (6)
\( \left( 6\right) - \left( 3\right) ,\left( 6\right) - \left( 4\right) \) ,以及 \( \left( 6\right) - \left( 5\right) \) ,我们得到 \( x = {2k}, y = k \) ,以及 \( z = {3k} \) 。代入
将这些值代入(2): \( {14k} + {3k} - {15k} = 4\; \Rightarrow \;k = 2 \)
\( {3x} + {2y} + {6z} = {6k} + {2k} + {19k} = {12} + 4 + {36} = {52}. \)
示例6.(1966年美国数学竞赛)曲线 \( {x}^{2} + 4{y}^{2} = 1 \) 与 \( 4{x}^{2} + {y}^{2} = 4 \) 的交点个数是多少?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
答案:(C)。
方法1(官方解答):
两条曲线的公共点的坐标(x, y)满足这两个方程,因此也满足它们的和 \( 5{x}^{2} + 5{y}^{2} = 5 \) ,该和描述了以原点为圆心的单位圆。两条椭圆与这个圆的唯一公共点是(1,0)和(-1,0),这两个点是两条椭圆与圆相切的点。
方法2(我们的解决方案):
\( {x}^{2} + 4{y}^{2} = 1 \) (1)
\( 4{x}^{2} + {y}^{2} = 4 \) (2)
(1) + (2):
\( 5{x}^{2} + 5{y}^{2} = 5 \Rightarrow \;{x}^{2} + {y}^{2} = 1 \) (3)
(1) \( - \left( 3\right) : 3{y}^{2} = 0 \)
于是方程(1)变为: \( {x}^{2} = 1\; \Rightarrow \;x = \pm 1 \) 。
有两个公共点:(1,0) 和 (-1,0)。
例7。若 \( x, y \) 和 \( z \) 满足 \( {xy} = 2,{yz} = 3 \) 和 \( {xz} \) \( = 4 \) ,求 \( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \) 的值。
(A) 61/6 (B) \( 8/3 \) (C) \( 3/2 \) (D) \( {27}/2 \) (E) \( {49}/4 \)
答案:(A)。
\( {xy} = 2 \) (1)
\( {yz} = 3 \) (2)
\( {xz} = 4 \) (3)
(1) \( \times \left( 2\right) \times \left( 3\right) : {\left( xyz\right) }^{2} = {24} \) (4)
(4) \( \div {\left( 1\right) }^{2} : {z}^{2} = 6 \) (5)
(4) \( \div {\left( 2\right) }^{2} : {x}^{2} = {24}/9 = 8/3 \) (6)
(4) \( \div {\left( 3\right) }^{2} : {y}^{2} = {24}/{16} = 3/2 \) (7)
(5) \( + \left( 6\right) + \left( 7\right) : {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 3/2 + 8/3 + 6 = {61}/6 \) .
例8。若 \( a, b \) 且 \( c \) 为正实数,使得 \( a\left( {b + c}\right) = {90}, b(c + \) \( a) = {98} \) 且 \( c\left( {a + b}\right) = {104} \) ,则 \( {abc} \) 为
(A) 372 (B) 388 (C) 304 (D) 336 (E) 350
答案:(D)。
将给定的方程相加得 \( 2\left( {{ab} + {bc} + {ca}}\right) = {292} \) ,所以 \( {ab} + {bc} + {ca} = {146} \) 。用这个结果分别减去每个给定方程得 \( {bc} = {56},{ca} = {48} \) 和 \( {ab} \) \( = {42} \) 。由此可得 \( {a}^{2}{b}^{2}{c}^{2} = {56} \cdot {48} \cdot {42} = \left( {7 \cdot 8}\right) \left( {6 \cdot 8}\right) \left( {6 \cdot 7}\right) = \left( {{7}^{2} \cdot {8}^{2} \cdot {6}^{2}}\right) \) \( {\left( {336}\right) }^{2} \) 。因为 \( {abc} > 0 \) ,所以 \( {abc} = {336} \) 。
例9。若 \( x, y \) 且 \( z \) 为实数,使得 \( {xy} + x + y = 1,{yz} + y + z = 5 \) 且 \( {zx} + z + x = 2 \) ,则 \( \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) \) 的最大可能值为
(A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 6 (E) 8
答案:(D)。
两边同时给每个方程加1得:
\( {xy} + x + y + 1 = 2 \)
\( {yz} + y + z + 1 = 6 \)
\( {zx} + z + x + 1 = 3 \)
通过因式分解我们得到
\( \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) = 2 \) (1)
\( \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = 6 \) (2)
\( \left( {x + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = 3 \) (3)
将给定的方程相乘得
\( {\left\lbrack \left( x + 1\right) \left( y + 1\right) \left( z + 1\right) \right\rbrack }^{2} = {6}^{2} \Rightarrow \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = \pm 6 \)
\( \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) \) 的最大可能值为6。
例10。亚历克斯、鲍勃和凯西一起做一项工作需要6小时;亚历克斯、凯西和艾玛一起做一项工作需要 \( 3\frac{1}{3} \) 小时;亚历克斯、凯西和丹尼一起做一项工作需要 \( 7\frac{1}{2} \) 小时;鲍勃、丹尼和艾玛一起做一项工作需要5小时。亚历克斯、鲍勃、凯西、丹尼和艾玛一起做这项工作需要的小时数为
(A)1 (B)3 (C)6 (D)12 (E)2.8
答案:(B)。
设 \( x, y, z, t, u \) 为亚历克斯、鲍勃、凯西、丹尼和艾玛单独完成这项工作所需的小时数。我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{6} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{u} = \frac{3}{10} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{15} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{u} = \frac{1}{6} \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(3)
(4)
\( \left( 1\right) + \left( 2\right) + \left( 3\right) + \left( 4\right) \times 2 : 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{u} + \frac{1}{t}}\right) = 1. \)
亚历克斯、鲍勃、凯西、丹尼和艾玛一起完成这项工作所需的小时数是3。
例11。在以下方程组中, \( x \) 可以表示为 \( m/n \) ,其中 \( m \) 和 \( n \) 是互质的正整数。 \( m + n \) 的值是多少?
\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{xy}{x + y} = 3 \\ \frac{yz}{y + z} = 4 \\ \frac{zx}{x + y} = 5 \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(3)
(A)137 (B)143 (C)127 (D)120 (E)167
答案:(A)。
\[ \frac{xy}{x + y} = 3\; \Rightarrow \;\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{3}\; \Rightarrow \;\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \tag{1} \]
\[ \frac{yz}{y + z} = 4\; \Rightarrow \;\frac{y + z}{yz} = \frac{1}{4}\; \Rightarrow \;\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \tag{2} \]
\[ \frac{zx}{x + z} = 5\; \Rightarrow \;\frac{x + z}{xz} = \frac{1}{5}\; \Rightarrow \;\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{5} \tag{3} \]
(1) \( + \left( 2\right) + \left( 3\right) : \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}}\right) = \frac{47}{120} \) (4)
(4) \( - \left( 2\right) : \frac{1}{x} = \frac{47}{120} - \frac{1}{4} = \frac{17}{210}\; \Rightarrow \;x = \frac{120}{17} \) .
答案是 \( {120} + {17} = {137} \) 。
例12。如果 \( x, y \) 且 \( z \) 是实数,求 \( {\left( xyz\right) }^{4} \) 的值,使得
\[ y + z = \frac{2}{xyz} \tag{1} \]
\( z + x = \frac{3}{xyz} \) (2)
\( x + y = \frac{4}{xyz} \) (3)
(A) \( \frac{5}{8} \) (B) \( \frac{15}{8} \) (C) \( \frac{8}{15} \) (D) \( \frac{8}{5} \) (E)6
答案:(B)。
(1) \( + \left( 2\right) - \left( 3\right) : {2z} = \frac{1}{xyz} \) (4)
(2) \( + \left( 3\right) - \left( 1\right) : {2x} = \frac{5}{xyz} \) (5)
(3) \( + \left( 1\right) - \left( 2\right) : {2y} = \frac{3}{xyz} \) (6)
\( \left( 4\right) \times \left( 5\right) \times \left( 6\right) : {8xyz} = \frac{15}{{\left( xyz\right) }^{3}}\; \Rightarrow \;{\left( xyz\right) }^{4} = \frac{15}{8}. \)
例13。有多少对实数(x,y)满足方程组 \( {x}^{2} + {xy} = {77} \) 和 \( {xy} + {y}^{2} = {44} \) ?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4
答案:(C)。
将两个方程相加得到 \( {\left( x + y\right) }^{2} = {121} \) 。所以 \( x + y = \pm {11} \)
当 \( x + y = {11},{x}^{2} + {xy} = x\left( {x + y}\right) = {77},{11x} = {77} \Rightarrow \;x = 7 \) 且 \( y = 4 \) 时。
当 \( x + y = - {11},{x}^{2} + {xy} = x\left( {x + y}\right) = {77}, - {11x} = {77} \Rightarrow x = - 7 \) 和 \( y = - 4 \) 时。
例14. 如果 \( x \) 和 \( y \) 是实数,使得 \( {x}^{2} - {y}^{2} + x - y - 6 = 0 \) 且 \( {x}^{2} + {y}^{2} - {2x} + y - 9 = 0 \) ,那么 \( {y}^{2} + y \) 的值是
(A) 6 (B) 6或 \( - \frac{9}{4} \) (C) -6或 \( \frac{9}{4} \) (D) \( - \frac{9}{4} \) (E) -6
解:(A)。
将给定的方程相加得到 \( 2{x}^{2} - x - {15} = 0 \) 。
求解可得 \( x = 3 \) 或 \( x = - 5/2 \) 。
将 \( x = 3 \) 代入第一个方程,
\( {3}^{2} - {y}^{2} + 3 - y - 6 = 0\; \Rightarrow \;{y}^{2} + y - 6 = 0. \)
我们看到 \( \Delta = {\left( -1\right) }^{2} - 4 \times 1 \times \left( {-6}\right) > 0 \) 。所以 \( y \) 是实数。 \( {y}^{2} + y = 6 \) 。
将 \( x = - 5/2 \) 代入第一个方程,
\[ \frac{25}{4} - {y}^{2} + \left( {-\frac{5}{2}}\right) - y - 6 = 0\; \Rightarrow \;{y}^{2} + y + \frac{9}{4} = 0. \]
我们看到 \( \Delta = {\left( -1\right) }^{2} - 4 \times 1 \times \left( \frac{9}{4}\right) < 0 \) 。所以在这种情况下 \( y \) 没有实数值。因此答案是 \( {y}^{2} + y = 6 \) 。
例15. 如果 \( x, y \) ,且 \( z \) 是实数,使得 \( {x}^{2} + {2yz} = x,{y}^{2} + {2zx} = z \) ,且 \( {z}^{2} + {2xy} = y \) ,那么 \( x + y + z \) 的最大可能值是
(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) -2 (E) 6
解:(B)。
将给定的方程相加得到 \( {\left( x + y + z\right) }^{2} = x + y + z \) (1)
设 \( x + y + z = a \) 。
(1)变为 \( {a}^{2} = a \Rightarrow {a}^{2} - a = 0 \Rightarrow a\left( {a - 1}\right) = 0 \) 。
所以 \( a = 0 \) 或者 \( \left( {a - 1}\right) = 0\; \Rightarrow \;a = 1 \) 。
\( x + y + z \) 的最大可能值是1。
2. 通过配方法解方程
例16. 有多少对实数(x, y)满足方程 \( 3{x}^{2} - {12}{x}^{2}y + {12}{x}^{2}{y}^{2} + {y}^{2} - {4y} + 4 = 0? \)
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
解:(B)。
我们将各项重新组合如下: \( \left( {3{x}^{2} - {12}{x}^{2}y + {12}{x}^{2}{y}^{2}}\right) + \left( {{y}^{2} - {4y} + 4}\right) = 0 \)
\( \Rightarrow 3{x}^{2}\left( {1 - {4y} + 4{y}^{2}}\right) + \left( {{y}^{2} - {4y} + 4}\right) = 0 \Rightarrow 3{x}^{2}{\left( 2y - 1\right) }^{2} + {\left( y - 2\right) }^{2} = 0 \) .
因为 \( x \) ,并且 \( y \) 是实数,我们必须有:
\[ \left\{ \begin{array}{lll} 3{x}^{2}{\left( 2y - 1\right) }^{2} = 0 & \Rightarrow & x = 0\;\left( {\operatorname{since}y = 2\text{ and }{2y} - 1 \neq 0}\right) \\ {\left( y - 2\right) }^{2} = 0 & \Rightarrow & y = 2 \end{array}\right. \]
答案是(B)。
例17. 设 \( a, b \) ,并且 \( c \) 是正整数,且 \( a \geq b \geq c \) ,使得 \( {a}^{2} - {b}^{2} - {c}^{2} + {ab} = {2017} \) 且 \( {a}^{2} + 3{b}^{2} + 3{c}^{2} - {3ab} - {2ac} - {2bc} = - {1991} \) 。 \( c \) 是多少?
(A) 210 (B) 222 (C) 225 (D) 226 (E) 二十五5
解:(B)。
将两个方程相加得到
\[ 2{a}^{2} + 2{b}^{2} + 2{c}^{2} - {2ab} - {2bc} - {2ac} = {26}\text{, so} \]
\[ {\left( a - b\right) }^{2} + {\left( b - c\right) }^{2} + {\left( c - a\right) }^{2} = {26}. \]
我们看到只有一种方法可以将26表示为三个平方数的和: \( {26} = {1}^{2} + {3}^{2} + {4}^{2} \) 。
考虑到 \( a \geq b \geq c \) ,我们有以下两种情况:
情况1:
\( a - c = 4 \)
\( a - b = 1 \)
\( b - c = 3 \) .
或
情况2:
\[ a - c = 4 \]
\[ a - b = 3 \]
\[ b - c = 1 \]
由情况1,我们有 \( a = c + 4 \) 和 \( b = c + 3 \) 。
将它们代入第一个方程:
\( {\left( c + 4\right) }^{2} - {\left( c + 3\right) }^{2} - {c}^{2} + \left( {c + 4}\right) \left( {c + 3}\right) = {2017} \Rightarrow {19} + {9c} = {2017} \Rightarrow c = {222} \) .
由情况2,我们有 \( a = c + 4 \) 和 \( b = c + 1 \) 。
将它们代入第一个方程:
\[ {\left( c + 4\right) }^{2} - {\left( c + 1\right) }^{2} - {c}^{2} + \left( {c + 4}\right) \left( {c + 1}\right) = {2017} \Rightarrow {19} + {11c} = {2017} \Rightarrow c = \frac{1998}{11} \]
(由于它不是整数所以被忽略)。因此 \( c = {222} \) 。
例18.(2002年美国数学竞赛10B组第20题)设 \( a, b \) ,且 \( c \) 为实数,使得 \( a - {7b} + {8c} = 4 \) 且 \( {8a} + {4b} - c = 7 \) 。 \( {a}^{2} - {b}^{2} + {c}^{2} \) 是多少?
(A)0 (B)1 (C)4 (D)7 (E)8
答案:(B)。
方法1(官方解法):
我们有 \( a + {8c} = 4 + {7b} \) 和 \( {8a} - c = 7 - {4b} \) 。将两个方程平方并相加得到
\( {\left( a + 8c\right) }^{2} + {\left( 8a - c\right) }^{2} = {\left( 4 + 7b\right) }^{2} + {\left( 7 - 4b\right) }^{2}. \)
展开得到 \( {65}\left( {{a}^{2} + {c}^{2}}\right) = {65}\left( {1 + {b}^{2}}\right) \) 。所以 \( {a}^{2} + {c}^{2} = 1 + {b}^{2} \) ,且 \( {a}^{2} - {b}^{2} + {c}^{2} = 1 \) 。
方法2(我们的解法):
因为 \( a - {7b} + {8c} = 4 \) 和 \( {8a} + {4b} - c = 7 \) 对于实数 \( a, b \) ,且 \( c \) 成立,我们令 \( \mathrm{b} = 0 \) 。
我们有
\( a + {8c} = 4 \) (1)
以及 \( {8a} - c = 7 \) (2)
求解可得 \( a = \frac{12}{13} \) 和 \( c = \frac{5}{13} \) 。
\[ {a}^{2} - {b}^{2} + {c}^{2} \]
\[ = {a}^{2} - {0}^{2} + {c}^{2} \]
\[ = {\left( \frac{12}{13}\right) }^{2} + {\left( \frac{5}{13}\right) }^{2} = \frac{{12}^{2} + {5}^{2}}{{13}^{2}} = \frac{{13}^{2}}{{13}^{2}} = 1. \]
例19. 若 \( x \) 和 \( y \) 是满足方程 \( 5{x}^{2} - {6xy} + 2{y}^{2} - {4x} + {2y} + 1 = 0. \) 的实数,求 \( {100}{x}^{2} + {y}^{2} \) 的值。(A) 101 (B) 107 (C) 120 (D) 122 (E) 125 解:(A)。给定方程的左边可写成 \( = \left( {{x}^{2} - {2xy} + {y}^{2}}\right) + \left( {4{x}^{2} - {4xy} + {y}^{2}}\right) - {4x} + {2y} + 1 \)
\[ = {\left( x - y\right) }^{2} + {\left( 2x - y\right) }^{2} - 2\left( {{2x} - y}\right) + 1 \]
\[ = {\left( x - y\right) }^{2} + {\left( 2x - y - 1\right) }^{2}\text{.} \]
所以我们有 \( {\left( x - y\right) }^{2} + {\left( 2x - y - 1\right) }^{2} = 0 \) 。
我们知道 \( x \) 和 \( y \) 是实数,所以我们有
\( {\left( x - y\right) }^{2} = 0\; \Rightarrow \;x = y \)
\( {\left( 2x - y - 1\right) }^{2} = 0\; \Rightarrow \;{2x} - y - 1 = 0 \Rightarrow \;{2x} - x - 1 = 0 \Rightarrow x = y = 1. \)
\[ {100}{x}^{2} + {y}^{2} = {101} \]
例20. 若 \( \left\{ {\begin{array}{l} x + {2y} - z = 6 \\ x - y + {2z} = 3 \end{array}.x, y, z}\right. \) 是实数,求 \( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \) 的最小值。(A) 14 (B) 17 (C) 20 (D) 22 (E) \( \frac{27}{2} \)
解:(A)。
我们知道
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + {2y} - z = 6 \\ x - y + {2z} = 3 \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(1) \( - \left( 2\right) : {3y} = {3z} + 3 \) 或 \( y = z + 1 \) (3)
将(3)代入(1): \( x + 2\left( {z + 1}\right) - z = 6 \) 。
所以 \( x = 4 - z \) 。
\( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {\left( 4 - z\right) }^{2} + {\left( z + 1\right) }^{2} + {z}^{2} = {16} - {8z} + {z}^{2} + {z}^{2} + {2z} + 1 + {z}^{2} = 3{\left( z - 1\right) }^{2} + \)
\( {14} \geq {14} \) .
当 \( z = 1, y = 2, x = 3 \) 时,最小值为14。
例21. 有理数 \( a \) 和 \( b \) 满足方程
\( {a}^{2} - {2ab} + 2{b}^{2} + {4a} + 8 = 0 \) 。 \( {ab} \) 是多少?
(A) -8 (B) 8 (C) 32 (D) 16 (E) 10
解:(B)。我们给每一项乘以2: \( 2{a}^{2} - {4ab} + 4{b}^{2} + {8a} + {16} = 0 \) 。然后我们按如下方式重新组合各项: \( \left( {{a}^{2} - {4ab} + 4{b}^{2}}\right) + \left( {{a}^{2} + {8a} + {16}}\right) = 0 \) \( \Rightarrow \;{\left( a - 2b\right) }^{2} + {\left( a + 4\right) }^{2} = 0 \) 。由于 \( a \) 和 \( b \) 是有理数,我们有 \( {\left( a - 2b\right) }^{2} \geq 0 \) 和 \( {\left( a + 4\right) }^{2} \geq 0 \) 。所以我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} a - {2b} = 0 \\ a + 4 = 0 \end{array}\right. \]
求解可得 \( a = - 4 \) 和 \( b = - 2 \) 。
答案是 \( {ab} = 8 \) 。
3. 用代入法解方程
例22. 若 \( x + \frac{1}{y} = 2 \) 且 \( {2y} + \frac{1}{z} = 1 \) ,求乘积 \( {xyz} \) 的值。
(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) -1 (E) -2
答案:-1。
\[ x + \frac{1}{y} = 2\; \Rightarrow \;{xy} + 1 = {2y}\; \Rightarrow \;1 - {2y} = - {xy} \tag{1} \]
\( {2y} + \frac{1}{z} = 1\; \Rightarrow \;\frac{1}{z} = 1 - {2y} \) (2)
将(1)代入(2): \( \frac{1}{z} = - {xy}\; \Rightarrow {xyz} = - 1 \) 。
例23. 若 \( x \) 且 \( y \) 为正整数,满足 \( {xy} + x + y = {19} \) 且 \( {x}^{2}y + x{y}^{2} = {84} \) ,求 \( {x}^{2} + {y}^{2} \) 。
(A) 193 (B) 25 (C) 153 (D) 103 (E) 74 答案:B。
\( {xy} + x + y = {19} \)
\( {x}^{2}y + x{y}^{2} = {xy}\left( {x + y}\right) = {84}. \)
令 \( {xy} = m, x + y = n \) 。
\[ m + n = {19} \]
\[ {mn} = {84} \]
所以 \( m = {12} \) 且 \( n = 7 \) 。
则 \( x = 3 \) 且 \( y = 4.{x}^{2} + {y}^{2} = {25} \) 。
例24. 有多少对实数(x, y)满足方程组 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {10} \) 和 \( x + {xy} + y = 7 \) ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
答案:(C)。
方法一:
令 \( x + y = u \) 和 \( {xy} = v \) 。
给定的方程变为:
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {u}^{2} - {2v} = {10} \\ u + v = 7 \end{array} \Rightarrow \;v = 7 - v}\right. \tag{1} \]
(2)
将(2)代入(1): \( {u}^{2} - 2\left( {7 - u}\right) = {10} \Rightarrow {u}^{2} + {2u} - {24} = 0 \)
\( \Rightarrow \left( {u - 4}\right) \left( {u + 6}\right) = 0 \) .
我们得到两种情况:
情况1: \( u = 4 \) 和 \( v = 3 \) ;以及
情况2: \( u = - 6, v = - {13} \) 。
对于情况1:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 4 \\ {xy} = 3 \end{array}\right. \tag{3} \]
(4)
将(3)代入(4): \( x\left( {4 - x}\right) = 7 \Rightarrow {x}^{2} - {4x} + 3 = 0 \Rightarrow \left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) = 0 \) 。
所以我们得到两个解: \( x = 1, y = 3 \) ,以及 \( x = 3, y = 1 \) 。
对于情况2:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = - 6 \\ {xy} = {13} \end{array}\right. \tag{5} \]
(6)
将(5)代入(6): \( x\left( {-6 - x}\right) = {13} \Rightarrow {x}^{2} + {6x} + {13} = 0 \Rightarrow \left( {x - 1}\right) \left( {x - 3}\right) = 0 \) 。
由于 \( \Delta = {6}^{2} - 4 \times {13} < 0 \) ,情况2没有实数解。因此答案是2。
例25。若 \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1,\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0 \) ,其中 \( a, b, c, x, y, z \) 为实数,求 \( \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} \) 的值。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
解:(B)。
令 \( u = \frac{x}{a}, v = \frac{y}{b}, w = \frac{z}{c} \) 。
我们有
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Rightarrow \;u + v + w = 1 \tag{1} \]
\[ \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0 \Rightarrow \;\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0 \Rightarrow \;\frac{{vw} + {uw} + {uv}}{uvw} = 0 \tag{2} \]
由(2)我们得到 \( {uv} + {vw} + {wu} = 0 \) (3)
对(1)两边同时平方: \( {\left( u + v + w\right) }^{2} = 1 \Rightarrow {u}^{2} + {v}^{2} + {w}^{2} + 2\left( {{uv} + {vw} + {wu}}\right) = 1 \)
由(3)我们知道
因此
问题
问题1. 三支铅笔和两块橡皮花费
(A) 1.15美元 (B) 1.61美元 (C) 1.48美元 (D) 1.39美元 (E) 1.49美元
问题2. 在一个装有红色、绿色和蓝色弹珠的罐子里,除了12个以外都是红色弹珠,除了16个以外都是绿色弹珠,除了8个以外都是蓝色弹珠。罐子里有多少个弹珠?
(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 36
问题3. 如果
\( {2x} + y + z + u + v = 8 \) (1)
\[ x + {2y} + z + u + v = {16} \tag{2} \]
\[ x + y + {2z} + u + v = {32} \tag{3} \]
\[ x + y + z + {2u} + v = {64} \tag{4} \]
\[ x + y + z + u + {2v} = {126} \tag{5} \]
(A) 212 (B) 214 (C) 218 (D) 259 (E) 236
问题4. 对于方程组,求
\( {x}_{1} + 2{x}_{2} + 3{x}_{3} + \cdots + {63}{x}_{63} = {126} \)
\[ \left\{ \begin{array}{l} (a : b : c = 2 : 3 : 4 \\ a + b + c = {27} \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(A) -36 (B) 36 (C) -32 (D) 64 (E) -24
问题6. 曲线
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0 (E) 4
问题7. 假设 \( a, b \) 和 \( c \) 是正整数,使得 \( {ab} = {18},{bc} = {24} \) 且 \( {ac} = {48} \) 。求 \( a + b + c \) 。
(A) 12 (B) 24 (C) 21 (D) 17 (E) 18
问题8. 如果 \( x, y \) 和 \( z \) 是正实数,使得 \( {xy} + {yz} = {65},{yz} + {zx} \) \( = {41} \) 且 \( {zx} + {xy} = {74} \) ,那么 \( {xyz} \) 是
(A) 42 (B) 68 (C) 120 (D) 140 (E) 280
问题9. 如果 \( x, y \) 和 \( z \) 是实数,使得 \( {xy} + x + y = {19},{yz} + y + z = \) 为29且 \( {zx} + z + x = {23} \) ,那么 \( \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) \) 的最小可能值是
(A) 42 (B) 68 (C) 120 (D) 140 (E) 280
问题10. \( A \) 和 \( B \) 一起可以在一天内完成一项工作; \( B \) 和 \( C \) 可以在 \( 1\frac{1}{2} \)
天内完成; \( A \) 和 \( {C2} \) 天内完成。 \( B \) 单独完成这项工作所需的天数是
(A) \( \frac{7}{12} \) (B) \( \frac{12}{7} \) (C) \( \frac{4}{3} \) (D) \( 2\frac{1}{2} \) (E) \( \frac{5}{4} \)
问题11. 在以下方程组中, \( y \) 可以表示为 \( m/n \) ,其中 \( m \) 和 \( n \) 是互质的正整数。 \( m + n \) 的值是多少?
\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{xy} + x}{x + y + 1} = 2 \\ \frac{{xz} + {2x}}{x + z + 2} = 3 \\ \frac{\left( {y + 1}\right) \left( {z + 2}\right) }{y + z + 3} = 4 \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(3)
(A) 30 (B) 14 (C) 27 (D) 12 (E) 24
问题12. 如果 \( x, y \) 和 \( z \) 是实数,使得 \( \frac{{yz} + {2xz} + {3xy}}{xyz} = {11} \) ,
\( \frac{{yz} - {xz} + {4xy}}{xyz} = {10} \) ,且 \( \frac{{yz} + {3xz} + {2xy}}{xyz} = 2 \) ,
那么 \( \frac{3}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z} \) 的值是
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 19 (E) 23
问题13. 有多少对实数(x, y)满足方程组 \( {x}^{2} + {3xy} = {54} \) 和 \( {xy} + 4{y}^{2} = {115} \) ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题14. 若 \(b_0\) 和 \(b_1\) 为实数,满足 \(b_2\) 和 \(b_3\) ,则 \(b_4\) 的值为
(A) 5 (B) 5 或 \( - \frac{1}{4} \) (C) -5 或 \( \frac{1}{4} \) (D) \( - \frac{1}{4} \) (E) 6
问题15. 实数 \( a, b \) 、 \( c \) 满足方程 \( {14}\left( {{a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2}}\right) = {\left( a + 2b + 3c\right) }^{2} \) 。若 \( a + b + c = x : y : z \) ,其中 \( x, y \) 与 \( z \) 的最大公因数为1,那么 \( x + y + z \) 是多少?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6 (E) 8
问题16.(2013年美国数学竞赛10B组)实数 \(a\) 和 \(b\) 满足方程 \(a + b = \cdots\) 。 \(a - b\) 的值是多少?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6 (E) 8
问题17。设 \( a, b \) 和 \( c \) 为正实数,使得 \( {a}^{2} - {bc} - {8a} + 7 = \) 大于0且 \( {b}^{2} + {c}^{2} + {bc} - {6a} + 6 = 0 \) 。若 \( a \) 取到最大可能值,那么 \( a + b + c \) 的值是多少?
(A) 15 (B) 17 (C) 20 (D) 22 (E) 25
问题18。若 \(b_1\) 和 \(b_2\) 是满足方程 \(b_3\) 的实数,求 \(b_0\) 。
(A) \( \frac{3}{4} \) (B) \( - \frac{4}{3} \) (C) \( - \frac{3}{4} \) (D) \( - \frac{9}{4} \) (E) \( \frac{9}{4} \)
问题19。若 \(b_1\) 和 \(b_2\) 是满足方程组的实数,求 \(b_0\) 。
\( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - {9x} - {8y} - {5z} + {11} = 0 \) (1)
\( x + {2y} + {3z} + 1 = 0 \) (2)
(A) 380 (B) 480 (C) 552 (D) 600 (E) 620
问题20. 有理数 \( a \) 和 \( b \) 满足方程
\( 2{a}^{2} - {2ab} + {b}^{2} + {4a} + 4 = 0 \) 。什么是 \( {a}^{2}b + a{b}^{2} \) ?
(A) -8 (B) -16 (C) 8 (D) 16 (E) 10
问题21.(2000年美国数学竞赛10年级)若 \( x, y \) 且 \( z \) 为满足 \( x + 1/y \) \( = 4;y + 1/z = 1 \) 以及 \( z + 1/x = 7/3 \) 的正数,则 \( {xyz} = \)
(A) \( 2/3 \) (B) 1 (C) \( 4/3 \) (D) 2 (E) \( 7/3 \)
问题22. 若(x, y)是方程组 \( {xy} = 6 \) 以及 \( {x}^{2}y + {y}^{2}x \) \( + x + y = {63} \) 的解,求 \( {x}^{2} + {y}^{2} \) 。
(A) 81 (B) 140 (C) 69 (D) 63 (E) 67
问题23. 有多少对实数(x, y)满足方程组 \( {x}^{2} + {y}^{2} + x - y = {32} \) 和 \( {12}\left( {x - y}\right) = - {7xy} \) ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题24. 若 \( x + y = 1, a{x}^{2} + {bxy} + c{y}^{2} = 1 \) , \( c{x}^{2} + {bxy} + a{y}^{2} = 1 \) ,其中 \( a, b, c, x, y, z \) 为实数且 \( a \neq c \) ,求 \( a + b + c \) 的值。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题25. 若 \( {xy} + {xz} = 8 - {x}^{2} \) , \( {xy} + {yz} = {12} - {y}^{2},{yz} + {zx} = - 4 - {z}^{2}. \) ,求 \( x + y + z \) 的最大值。
(A) -4 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
解答:
问题1. 答案:B. \( {3P} + {2E} = {60} \) (1) \( {2P} + {3E} = {55} \) (2)
\[ \text{(1)} + \text{(2):}{5P} + {5E} = {115} \Rightarrow P + E = {23} \Rightarrow 7\left( {P + E}\right) = {23} \times 7 = {161} = \ $ {1.61}\text{.} \]
问题2. 答案:(C)。
设 \( g, b \) 、 \( r \) 分别为绿色、蓝色和红色弹珠的数量。
\[ g + b = {12} \tag{1} \]
\[ r + b = {16} \tag{2} \]
\( r + g = 8 \) (3)
(1) \( + (2 + \) (3): \( {2g} + {2r} + {2b} = {36} \)
问题3. 答案:(D)。
(1) \( + \left( 2\right) + \left( 3\right) + \left( 4\right) + \left( 5\right) \) :
\( 6\left( {x + y + z + u + v}\right) = {246} \Rightarrow x + y + z + u + v = {41} \) (6)
(4) \( - \left( 6\right) : u = {23} \) .
(5) \( - \left( 6\right) : v = {85} \) .
\( {3u} + {2v} = 3 \times {23} + 2 \times {85} = {259}. \)
问题4。答案:(B)。
设 \( S = {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{63} \) 。
将所有方程相加: \( S + {2S} + {3S} + \cdots {63S} = {126} + {124} + \cdots + 1 = \frac{\left( {2 + {126}}\right) \cdot {63}}{2} \)
\[ \Rightarrow \frac{\left( {S + {63S}}\right) \cdot {63}}{2} = \frac{\left( {2 + {126}}\right) \cdot {63}}{2} \Rightarrow \frac{S \cdot {64} \cdot {63}}{2} = \frac{{128} \cdot {63}}{2} \Rightarrow S = 2\text{.} \]
问题5。答案:(C)。
设
\[ a = {2k} \tag{3} \]
\[ b = {3k} \tag{4} \]
\[ c = {4k} \tag{5} \]
\[ k \neq 0\text{.} \]
\[ \text{(3)} + \left( 4\right) + \left( 5\right) : a + b + c = {9k} = {27} \Rightarrow k = 3 \]
\[ a - {2b} - {2c} = {2k} - 2 \times {3k} - 2 \times {4k} = - {12k} \tag{6} \]
将 \( \mathrm{k} = 3 \) 代入(6): \( a - {2b} - {2c} = - {12k} = - {12} \times 3 = - {36} \) 。
问题6。答案:(B)。
\( 3{x}^{2} + {y}^{2} = {12} \) (1)
\( {x}^{2} + 3{y}^{2} = 4 \) (2)
(1) \( + \left( 2\right) \) :
\( 4{x}^{2} + 4{y}^{2} = {16}\; \Rightarrow \;{x}^{2} + {y}^{2} = 4 \) (3)
(2) \( - \left( 3\right) : 2{y}^{2} = 0 \)
所以方程(2)变为: \( {x}^{2} = 4\; \Rightarrow \;x = \pm 2 \) 。
有两个公共点:(2,0)和(-2,0)。
问题7。答案:(D)。
\[ {ab} = {18} \tag{1} \]
\[ {bc} = {24} \tag{2} \]
\[ {ac} = {48} \tag{3} \]
\( \left( 1\right) \times \left( 2\right) \times \left( 3\right) : {\left( a \times b \times c\right) }^{2} = {18} \times {24} \times {48} \Rightarrow a \times b \times c = \sqrt{{18} \times {24} \times {48}} = {144}\left( 4\right) \)
\( \left( 4\right) \div \left( 1\right) : c = 8 \)
\( \left( 4\right) \div \left( 2\right) : a = 6 \)
\( \left( 4\right) \div \left( 3\right) : b = 3 \)
\( a + b + c = 6 + 3 + 8 = {17}. \) 问题8。答案:(D)。
将给定方程相加得到 \( 2\left( {{xy} + {yz} + {zx}}\right) = {180} \) ,所以 \( {xy} + {yz} + {zx} = {90} \) 。用这个结果分别减去每个给定方程得到 \( {zx} = {25},{xy} = {49} \) ,以及 \( {yz} = \) 16。由此可得 \( {x}^{2}{y}^{2}{z}^{2} = {25} \cdot {49} \cdot {16} \) 。因为 \( {xyz} > 0 \) ,所以我们有 \( {xyz} = 5 \cdot 7 \cdot 4 \) 。140。
问题9。答案:(D)。
在两边给每个方程都加1得到:
\[ {xy} + x + y + 1 = {20} \]
\[ {yz} + y + z + 1 = {30} \]
\[ {zx} + z + x + 1 = {24} \]
通过因式分解我们得到
\[ \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) = {20} \tag{1} \]
\[ \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = {30} \tag{2} \]
\[ \left( {x + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = {24} \tag{3} \]
将给定方程相乘得到
\( {\left\lbrack \left( x + 1\right) \left( y + 1\right) \left( z + 1\right) \right\rbrack }^{2} = {6}^{2} \Rightarrow \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = \pm 6 \)
\( \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) \) 的最大可能值为6 。
问题10。答案:(B)。
设 \( x, y, z \) 为 \( A, B, C \) 单独完成这项工作所需的天数。我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} 1\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\right) = 1 \\ \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}}\right) = 1 \\ 2\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}}\right) = 1 \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(3)
或者
\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array}\right. \tag{4} \]
(5)
(6)
\[ \text{(1)} + \left( 2\right) + \left( 3\right) : 2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}\right) = \frac{13}{6} \]
\[ \text{Or}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{13}{12} \tag{7} \]
\[ \text{(7)} - \left( 6\right) : \frac{1}{y} = \frac{7}{12}\; \Rightarrow \;y = \frac{12}{7}\text{.} \]
问题11。答案:(E)。
\( \frac{{xy} + x}{x + y + 1} = 2\; \Rightarrow \;\frac{x + y + 1}{{xy} + x} = \frac{1}{2}\; \Rightarrow \;\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \) (1)
\[ \frac{{xz} + {2x}}{x + z + 2} = 3\; \Rightarrow \;\frac{x + z + 2}{{xz} + {2x}} = \frac{1}{3} \tag{2} \]
\( \frac{\left( {y + 1}\right) \left( {z + 2}\right) }{y + z + 3} = 4\; \Rightarrow \;\frac{y + z + 3}{\left( {y + 1}\right) \left( {z + 2}\right) } = \frac{1}{4}\; \Rightarrow \;\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 2} = \frac{1}{5} \) (3)
\[ \left\lbrack {\left( 1\right) + \left( 2\right) + \left( 3\right) }\right\rbrack \div 2 : \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 2} = \frac{13}{24} \tag{4} \]
(4) \( - \left( 2\right) : \frac{1}{y + 1} = \frac{5}{24}\; \Rightarrow \;y = \frac{19}{5} \) .
答案是 \( {19} + 5 = {24} \) 。
问题12。答案:(E)。
\[ \frac{{yz} + {2xz} + {3xy}}{xyz} = {11} \tag{1} \]
\[ \frac{{yz} - {xz} + {4xy}}{xyz} = {10}\; \Rightarrow \;\frac{1}{x} - \frac{1}{y} + \frac{4}{z} = {10} \tag{2} \]
\[ \frac{{yz} + {3xz} + {2xy}}{xyz} = 2\;\frac{1}{x} + \frac{3}{y} + \frac{2}{z} = 2 \tag{3} \]
将方程(1)、(2)和(3)相加: \( \frac{3}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z} = {23} \) 。问题13。答案:(E)。将这两个方程相加得到 \( {\left( x + 2y\right) }^{2} = {169} \) 。所以 \( x + {2y} = \pm {13} \)
解决
\[ x + {2y} = {13} \]
\[ {x}^{2} + {3xy} = {54}, \]
我们得到 \( {x}_{1} = {36},{y}_{1} = - {23}/2;{x}_{2} = 3,{y}_{2} = 5 \) 。
解决
\[ x + {2y} = - {13} \]
\[ {x}^{2} + {3xy} = {54}, \]
我们得到
\[ {x}_{3} = - {36},{y}_{2} = {23}/2;{x}_{4} = - 3,{y}_{4} = - 5\text{.} \]
答案是4。
问题14。答案:(A)。
用第一个方程减去第二个方程可得 \( {2x} - {2y} - 2 = 0 \)
\[ \Rightarrow x = y + 1 \]
将 \( x = y + 1 \) 代入第一个方程,
\[ {3}^{2} - {y}^{2} + 3 - y - 6 = 0\; \Rightarrow \;{2y} + 1 - 5 = 5\; \Rightarrow \;y = 2\text{.} \]
我们看到 \( \Delta = {\left( -1\right) }^{2} - 4 \times 1 \times \left( {-6}\right) > 0 \) 。所以 \( y \) 是实数。 \( {y}^{2} + y = 6 \) 。
然后 \( x = y + 1 = 2 + 1 = 3 \) 和 \( x + y = 3 + 2 = 5 \) 。
问题15。答案:(D)。
给定的方程可以写成 \( {13}{a}^{2} + {10}{b}^{2} + 5{c}^{2} - {4ab} - {12bc} - {6ac} = 0 \) 。
我们将各项重新组合如下:
\[ \left( {4{a}^{2} - {4ab} + {b}^{2}}\right) + \left( {9{a}^{2} - {6ac} + {c}^{2}}\right) + \left( {9{b}^{2} - {12bc} + 4{c}^{2}}\right) = 0 \Rightarrow \]
\[ {\left( 2a - b\right) }^{2} + {\left( 3a - c\right) }^{2} + {\left( 3b - 2c\right) }^{2} = 0. \]
因为 \( a, b \) 和 \( c \) 是实数,我们必须有:
\[ \left\{ \begin{array}{lllll} {\left( 2a - b\right) }^{2} = 0 & \Rightarrow & {2a} - b = 0 & \Rightarrow & b = {2a} \\ {\left( 3a - c\right) }^{2} = 0 & \Rightarrow & {3a} - c = 0 & \Rightarrow & c = {3a} \\ {\left( 3b - 2c\right) }^{2} = 0 & \Rightarrow & {3b} - {2c} = 0 & & \end{array}\right. \]
因此 \( a + b + c = 1 : 2 : 3 \) 和 \( x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 \) 。
问题16。答案:(B)。
方法1(官方解答):
通过配方,方程可以重写如下:
\( {x}^{2} + {y}^{2} = {10x} - {6y} - {34} \) ,
\( {x}^{2} - {10x} + {25} + {y}^{2} + {6y} + 9 = 0. \)
\( {\left( x - 5\right) }^{2} + {\left( y + 3\right) }^{2} = 0 \) .
因此 \( x = 5 \) 和 \( y = - 3 \) ,所以 \( x + y = 2 \) 。
方法2(我们的解答):
设 \( x + y = m.y = m - x \)
将 \( y = m - x \) 代入给定的方程:
\[ {x}^{2} + {\left( m - x\right) }^{2} = {10x} - 6\left( {m - x}\right) - {34} \Rightarrow {x}^{2} + {m}^{2} - {2mx} + {x}^{2} = {10x} - {6m} + {6x} - {34} \]
\( {x}^{2} + {m}^{2} - {2mx} + {x}^{2} + {6m} - {16x} + {34} = 0 \Rightarrow 2{x}^{2} - {2x}\left( {m + 8}\right) + {m}^{2} + {6m} + {34} = 0 \)
因为 \( x \) 和 \( y \) 是实数,我们必须有:
\[ \Delta = {\left\lbrack -2\left( m + 8\right) \right\rbrack }^{2} - 4 \times 2\left( {{m}^{2} + {6m} + {34}}\right) \geq 0\; \Rightarrow {\left( m + 8\right) }^{2} - 2\left( {{m}^{2} + {6m} + {34}}\right) \geq 0 \]
\[ \Rightarrow \;{m}^{2} - {4m} + 4 \leq 0\; \Rightarrow \;{\left( m - 2\right) }^{2} \leq 0. \]
因为 \( m \) 是实数,我们得到 \( {\left( m - 2\right) }^{2} = 0 \Rightarrow \;m = 2 \) 。
问题17。答案:(B)。
\[ {a}^{2} - {bc} - {8a} + 7 = 0 \tag{1} \]
\[ {b}^{2} + {c}^{2} + {bc} - {6a} + 6 = 0 \tag{2} \]
\[ \left( 1\right) \times 3 + \left( 2\right) : {\left( b - c\right) }^{2} + 3{a}^{2} - {30a} + {270}\; \Rightarrow \;{\left( b - c\right) }^{2} = - 3\left( {{a}^{2} - {10a} + 9}\right) . \]
\[ \text{Since}{\left( b - c\right) }^{2} \geq 0, - 3\left( {{a}^{2} - {10a} + 9}\right) \geq 0 \Rightarrow \left( {a - 1}\right) \left( {a - 9}\right) \leq 0\text{.} \]
因此 \( 1 \leq a \leq 9 \) 。
那么 \( a \) 的最大可能值是9。所以 \( b - c = 0 \Rightarrow b = c \) 。
\[ {a}^{2} - {bc} - {8a} + 7 = 0 \Rightarrow {9}^{2} - {b}^{2} - 8 \times 9 + 7 = 0 \Rightarrow {b}^{2} = {16}. \]
\[ \text{So}b = c = 4.\;a + b + c = 9 + 4 + 4 = {17}\text{.} \]
问题18。答案:(C)。
我们重新组合各项并将给定方程写成如下形式:
\[ \left( {{x}^{2} - {4x} + 4}\right) + \left( {4{y}^{2} + {12y} + 9}\right) = 0 \Rightarrow {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( 2y + 3\right) }^{2} = 0. \]
因为 \( a \) 和 \( b \) 是有理数,所以我们有 \( {\left( x - 2\right) }^{2} \geq 0 \) 和 \( {\left( 2y + 3\right) }^{2} \geq 0 \) 。
所以我们有 \( \left\{ \begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ {2y} + 3 = 0 \end{array}\right. \)
求解可得 \( x = 2 \) 和 \( y = - 3/2 \) 。
答案是 \( {xy} + {y}^{x} = 2 \times \left( {-\frac{3}{2}}\right) + {\left( -\frac{3}{2}\right) }^{2} = - 3 + \frac{9}{4} = - \frac{3}{4} \) 。
问题19。答案:(D)。
(1) \( \times 3 + \) (2): \( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - {6x} - {2y} + {4z} + {14} = 0\; \Rightarrow \)
\( \left( {{x}^{2} - {6x} + 9}\right) + \left( {{y}^{2} - {2y} + 1}\right) + \left( {{z}^{2} + {4z} + 4}\right) = 0 \Rightarrow {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} + {\left( z + 2\right) }^{2} = 0 \)
我们知道 \( x, y \) ,并且 \( z \) 是实数,所以我们有
\[ x - 3 = 0\; \Rightarrow \;x = 3. \]
\[ y - 1 = 0\; \Rightarrow \;y = 1\text{.} \]
\[ z + 2 = 0\; \Rightarrow \;z = - 2. \]
\[ {100}\left( {x + y - z}\right) = {100} \times 6 = {600}. \]
问题20。答案:(B)。
我们按如下方式重新组合各项: \( \left( {{a}^{2} - {2ab} + {b}^{2}}\right) + \left( {{a}^{2} + {4a} + 4}\right) = 0 \)
\( \Rightarrow \;{\left( a - b\right) }^{2} + {\left( a + 2\right) }^{2} = 0 \) .
因为 \( a \) 和 \( b \) 是有理数,所以我们有 \( {\left( a - b\right) }^{2} \geq 0 \) 和 \( {\left( a + 2\right) }^{2} \geq 0 \) 。
所以我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} a - b = 0 \\ a + 2 = 0 \end{array}\right. \]
求解可得 \( a = b = - 2 \) 。
答案是 \( {a}^{2}b + a{b}^{2} = {\left( -2\right) }^{2}\left( {-2}\right) + \left( {-2}\right) {\left( -2\right) }^{2} = - {16} \) 。
问题21。答案:(B)。
方法1(官方解法):
请注意 \( \left( {x + 1/y}\right) + \left( {y + 1/z}\right) + \left( {z + 1/x}\right) = 4 + 1 + 7/3 = {22}/3 \) 以及 \( {28}/3 = 4 \cdot 1 \)
\( \cdot 7/3 = \left( {x + 1/y}\right) \left( {y + 1/z}\right) \left( {z + 1/x}\right) = {xyz} + x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z + 1/\left( {xyz}\right) = {xyz} \)
+ 三分之二十二 + (xyz分之一)。
由此可得 \( {xyz} + 1/\left( {xyz}\right) = 2 \) 和 \( {\left( xyz - 1\right) }^{2} = 0 \) 。因此 \( {xyz} = 1 \) 。
方法2(官方解答):
通过代入, \( 4 = x + \frac{1}{y} = x + \frac{1}{1 - 1/z} = x + \frac{1}{1 - {3x}/\left( {{7x} - 3}\right) } = x + \frac{{7x} - 3}{{4x} - 3} \) 。
因此 \( 4\left( {{4x} - 3}\right) = x\left( {{4x} - 3}\right) + {7x} - 3 \) ,化简后为 \( {\left( 2x - 3\right) }^{2} = 0 \) 。
因此, \( x = 3/2, z = 7/3 - 2/3 = 5/3 \) ,以及 \( y = 1 - 3/5 = 2/5 \) ,所以 \( {xyz} = \)
\( \left( {3/2}\right) \left( {2/5}\right) \left( {5/3}\right) = 1 \) .
问题22。答案:C。
\( {x}^{2}y + {y}^{2}x + x + y = {xy}\left( {x + y}\right) + \left( {x + y}\right) = \left( {x + y}\right) \left( {{xy} + 1}\right) = {63} \)
或者 \( \left( {x + y}\right) \left( {6 + 1}\right) = {63} \Rightarrow \;x + y = 9 \Rightarrow {\left( x + y\right) }^{2} = {81} \Rightarrow {x}^{2} + {y}^{2} + {2xy} = {81} \)
\( {x}^{2} + {y}^{2} = {81} - {2xy} = {81} - {12} = {69}. \)
问题23。答案:(C)。
令 \( x - y = u,{xy} = v \) 。
给定的方程变为:
\[ \left\{ \begin{array}{l} {u}^{2} + {2v} + u = {32} \\ {12u} = - {7v} \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
求解后我们得到
\[ \left\{ \begin{array}{l} u = 7 \\ v = - {12} \end{array}\right. \tag{3} \]
(4)
以及 \( \left\{ \begin{array}{l} u = - \frac{32}{7} \\ v = \frac{384}{49} \end{array}\right. \) (5)
(6)
\[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 7 \\ {xy} = - {12} \end{array}\right. \tag{3} \]
(4)
\[ {x}_{1} = 3,{y}_{1} = 4;{x}_{2} = 4,{y}_{2} = - 3\text{.} \]
\[ \text{ And }\left\{ \begin{array}{l} x - y = - \frac{32}{7} \\ {xy} = \frac{384}{49} \end{array}\right. \tag{5} \]
(6)
\( {x}_{3,4} = \frac{-{16} \pm 8\sqrt{10}}{7},{y}_{3,4} = \frac{{16} \pm 8\sqrt{10}}{7} \) .
问题24。答案:(E)。
\[ a{x}^{2} + {bxy} + c{y}^{2} = 1 \tag{1} \]
\( c{x}^{2} + {bxy} + a{y}^{2} = 1 \) (2)
(1) \( - \left( 2\right) : \left( {a - c}\right) \left( {{x}^{2} - {y}^{2}}\right) = 0 \) .
因为 \( a \neq c.a - c \neq 0 \) 。所以 \( {x}^{2} - {y}^{2} = 0\; \Rightarrow \;\left( {x - y}\right) \left( {x + y}\right) = 0 \)
我们知道 \( x + y = 1 \) 。因此 \( x - y = 0\; \Rightarrow \;x = y \) 以及 \( x = y = \frac{1}{2} \) 。
将 \( x = y = \frac{1}{2} \) 代入(1): \( a{\left( \frac{1}{2}\right) }^{2} + b \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + c{\left( \frac{1}{2}\right) }^{2} = 1 \Rightarrow a + b + c = 4 \) 。
问题25。答案:(E)。
将给定方程改写如下:
\[ x\left( {x + y + z}\right) = 8 \tag{1} \]
\( y\left( {x + y + z}\right) = {12} \) (2)
\( z\left( {x + y + z}\right) = - 4 \) (3)
(1) \( + \left( 2\right) + \left( 3\right) : {\left( x + y + z\right) }^{2} = {16} \)
所以 \( x + y + z = 4 \) 或者 \( x + y + z = - 4 \)
\( x + y + z \) 的最大可能值是4。
基础知识
1. 韦达定理
如果 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 是二次方程 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 0,\left( {a \neq 0}\right) \) 的两个根,
那么
\[ {x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{b}{a} \tag{1.1} \]
\[ {x}_{1} \cdot {x}_{2} = \frac{c}{a} \tag{1.2} \]
证明:
设 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 是二次方程的两个根
\( a{x}^{2} + {bx} + c = 0,\left( {a \neq 0}\right) \) .
\[ {x}_{1} = \frac{-b + \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a},{x}_{2} = \frac{-b - \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a}\text{.} \]
\( {x}_{1} \) 与 \( {x}_{2} \) 的和可通过将两个方程相加得到:
\[ {x}_{1} + {x}_{2} = \frac{-b + \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} = \frac{-{2b}}{2a} = - \frac{b}{a}. \]
\( {x}_{1} \) 与 \( {x}_{2} \) 的乘积可通过将两个方程相乘得到:
\[ {x}_{1} \cdot {x}_{2} = \frac{-b + \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} = \frac{{\left( -b\right) }^{2} - {\left( \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}\right) }^{2}}{4{a}^{2}} = \frac{4ac}{4{a}^{2}} = \frac{c}{a}. \]
注意:当我们推导韦达定理时,根可能是实数,也可能不是。然而,如果题目中表明根是实数(或正数),你必须考虑 \( \Delta \geq 0 \) 和 \( a \neq 0 \) 。如有必要,你需要检查是否 \( \Delta \geq 0 \) 。
2. 韦达定理的逆定理
如果 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 满足以下条件:
\[ {x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{b}{a}\text{, and}{x}_{1} \cdot {x}_{2} = \frac{c}{a} \]
那么 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 是二次方程 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 0,\left( {a \neq 0}\right) \) 的两个根。
这个定理可用于构建一个二次方程。
证明:
\[ a{x}^{2} + {bx} + c = a\left\lbrack {{x}^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}\right\rbrack \]
自 \( \frac{b}{a} = - \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) ,{x}_{1} \cdot {x}_{2} = \frac{c}{a} \) 起。
\( \therefore a{x}^{2} + {bx} + c = a\left\lbrack {{x}^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}}\right\rbrack = a\left\lbrack {{x}^{2} - \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) x + {x}_{1}{x}_{2}}\right\rbrack \)
将 \( {x}_{1} \) 代入 \( x \) 到上述方程的左边:
\( a{x}_{1}^{2} + b{x}_{1} + c = a\left\lbrack {{x}_{1}^{2} - \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) {x}_{1} + {x}_{1}{x}_{2} = a\left\lbrack {{x}_{1}^{2} - {x}_{1}^{2} - {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{1}{x}_{2}}\right\rbrack = 0.}\right. \)
所以 \( {x}_{1} \) 是 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 0 \) 的根。
同样地,我们有 \( a{x}_{2}^{2} + b{x}_{2} + c = a\left\lbrack {{x}_{2}^{2} - {x}_{2}^{2} - {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{1}{x}_{2}}\right\rbrack = 0 \) 。
所以 \( {x}_{2} \) 也是 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 0 \) 的根。
3. 广义韦达定理:
(1). 设 \( {x}_{1},{x}_{2} \) 和 \( {x}_{3} \) 为一个三次多项式的根
\[ {a}_{0}{x}^{3} + {a}_{1}{x}^{2} + {a}_{2}{x}^{1} + {a}_{3} = 0. \]
然后
\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = - \frac{{a}_{1}}{{a}_{0}} \tag{3.1} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{2}{x}_{3} + {x}_{3}{x}_{1} = \frac{{a}_{2}}{{a}_{0}} \tag{3.2} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3} = - \frac{{a}_{3}}{{a}_{0}} \tag{3.3} \]
(2). 设 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \) 和 \( {x}_{4} \) 为一个四次多项式的根
\[ {a}_{0}{x}^{4} + {a}_{1}{x}^{3} + {a}_{2}{x}^{2} + {a}_{3}{x}^{1} + {a}_{4} = 0. \]
然后
\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = - \frac{{a}_{1}}{{a}_{0}} \tag{3.4} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{1}{x}_{3} + {x}_{1}{x}_{4} + {x}_{2}{x}_{3} + {x}_{2}{x}_{4} + {x}_{3}{x}_{4} = \frac{{a}_{2}}{{a}_{0}} \tag{3.5} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3} + {x}_{1}{x}_{2}{x}_{4} + {x}_{1}{x}_{3}{x}_{4} + {x}_{2}{x}_{3}{x}_{4} = - \frac{{a}_{3}}{{a}_{0}} \tag{3.6} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4} = \frac{{a}_{4}}{{a}_{0}} \tag{3.7} \]
(3). 设 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 为一个 \( n \) 次多项式的根
\[ {a}_{0}{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n - 1} + {a}_{2}{x}^{n - 2} + \cdots + {a}_{n - 1}x + {a}_{n} = 0. \]
然后
\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{n} = - \frac{{a}_{1}}{{a}_{0}} \tag{3.8} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{1}{x}_{3} + \cdots + {x}_{n - 1}{x}_{n} = \frac{{a}_{2}}{{a}_{0}} \tag{3.9} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3} + {x}_{1}{x}_{2}{x}_{4} + \cdots + {x}_{n - 1}{x}_{n - 2}{x}_{n} = - \frac{{a}_{3}}{{a}_{0}} \tag{3.10} \]
\[ {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}\cdots {x}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}\frac{{a}_{n}}{{a}_{0}} \tag{3.11} \]